유클리드 호제법(Euclidean algorithm)

 ユークリッドアルゴリズム

• 유클리드 호제법(- 互除法, Euclidean algorithm)은 2개의 자연수 또는 정식(整式)의 최대공약수를 구하는 알고리즘의 하나. 
• 호제법 :  두 수가 서로 상대방 수를 나누어서 결국 원하는 수를 얻는 알고리즘. 
• 2개의 자연수(또는 정식) a, b에 대해서 a를 b로 나눈 나머지를 r이라 하면(단, a>b), a와 b의 최대공약수는 b와 r의 최대공약수와 같다. 이 성질에 따라, b를 r로 나눈 나머지 r'를 구하고, 다시 r을 r'로 나눈 나머지를 구하는 과정을 반복하여 나머지가 0이 되었을 때 나누는 수가 a와 b의 최대공약수이다. 

• 이는 명시적으로 기술된 가장 오래된 알고리즘으로서도 알려져 있으며, 기원전 300년경에 쓰인 유클리드의 《원론》 제7권, 명제 1부터 3까지에 해당.

1. n이 0이라면, m을 출력하고 알고리즘을 종료한다.
2. m이 n으로 나누어 떨어지면, n을 출력하고 알고리즘을 종료한다.
3. 그렇지 않으면, m을 n으로 나눈 나머지를 새롭게 m에 대입하고, m과 n을 바꾸고 3번으로 돌아온다.
4. 위 과정은 “n, m에 대해서 나머지 연산을 실시할 수 있다”라는 조건에만 의존하므로, 정수환뿐 아니라, 임의의 유클리드 정역에 대해도 똑같은 과정을 거치면 공약인자가 구해진다.

import java.util.Scanner;

public class GcdLcm {

public static int GCD(int a, int b){ //GCD method signature. Takes two values and returns the GCD.

  int temp;  

   

   if(a==b){ //Euclidean algorithm implementation. Recursion stopping case.

      return(a);

     }

    if(a<b){ //Recursion. if a<b; switch to make a>b

      temp=a;

      a=b;

      b=temp;

    }

   

    return(GCD(a-b,b)); //euclidean algorithm: GCD(a,b)=GCD(a-b,b)

  }

  public static int LCM(int a, int b){ //LCM method signature. Takes two values and returns LCM.

   

  return(a*b/(GCD(a,b))); //by definition, a*b=GCD(a,b)*LCM(a,b)

  }

  public static void main(String[] args) {

 

  Scanner sc = new Scanner(System.in);

  int num1, num2;

 

  System.out.println("*** 두 수의 최대공약수와 최소공배수 ***");

  System.out.print("첫 번째 수 입력: ");

  num1 = sc.nextInt();

  System.out.print("두 번째 수 입력: ");

  num2 = sc.nextInt();

 

  System.out.println("최대공약수: " + GCD(num1, num2) + "\n최소공배수: " + LCM(num1, num2));

  }

}

// JAVA SOURCE CODE_WIKI

public static int gcd(int p, int q)

 {

if (q == 0) return p;

return gcd(q, p%q);

 }